L'optimisation est la discipline qui étudie les problèmes dans lesquels on cherche à déterminer «au mieux» des variables, qui sont contraintes d'appartenir à un ensemble donné. Déterminer «au mieux» signifie que l'on cherche à minimiser ou maximiser un critère fonctionnel dépendant de ces variables.

Ce cours présente les concepts, résultats et algorithmes principaux de l'optimisation "différentiable" (par opposition à l'optimisation "combinatoire" ou "discrète", qui ne sera pas abordée) en "dimension finie" (on ne parlera pas de "commande optimale" ou de problèmes de "forme optimale"). On s'intéresse donc à la fois aux aspects théoriques (existence et unicité de solution, conditions d'optimalité, technique de pénalisation, dualité) et aux aspects algorithmiques (algorithmes à directions de descente et à régions de confiance, algorithmes du gradient, du gradient conjugué, de Newton, de quasi-Newton, pénalisation, lagrangien augmenté, optimisation quadratique successive, algorithmes de dualité, algorithmes du simplexe et de points intérieurs en optimisation linéaire). Ce cours construit ainsi les bases sur lesquelles peuvent s'appuyer des disciplines plus avancées, telles que l' "optimisation stochastique", l' "optimisation robuste", l' "optimisation conique" (SDP, copositive, ...), l' "optimisation non lisse", la "commande optimale", l' "optimisation de forme", l' "apprentissage", etc.
    
Cette branche de l'optimisation repose pour une bonne part sur l' "analyse convexe", si bien que le cours introduit quelques notions et démontre quelques résultats de cette discipline importante des mathématiques, située entre l'algèbre linéaire et l'analyse non linéaire, qui jouent un rôle majeur en optimisation: projection, séparation, cône dual, conjugaison, sous-différentiabilité. On peut aussi voir l'analyse convexe, comme une voie d'accès à l' "analyse non lisse", qui décrit des situations où sont utilisées des notions de différentiabilité plus faibles que la différentiabilité de Fréchet et qui est précieuse dans l'étude des "inéquations variationnelles", en "mécanique du contact", etc.
   
Le cours est divisé en deux parties: MAP-OPT1 et <a href="http://wwwdfr.ensta.fr/Cours/?usebdd=ensta&sigle=MAP-OPT2">MAP-OPT2</a>. Dans la première partie, on se concentre sur les techniques de base: les conditions d'optimalité, les notions essentielles de l'analyse convexe, l'algorithmique des problèmes d'optimisation sans contrainte et la pénalisation.

Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées