Descriptif
La théorie des chaînes de Markov fournit un cadre mathématique rigoureux pour décrire une certaine classe d'évolutions aléatoires, dans lesquelles toute l’information sur (la loi) du futur de la chaîne est concentré dans son état présent.
Dans le cas d’une évolution à temps et à espace d’état finis, une telle chaîne est simplement décrite par la donnée une matrice carrée de taille finie, dite matrice stochastique, dont l’étude grâce aux outils de l’algèbre linéaire permet de faire apparaitre de façon simple les principaux objets de la théorie.
Un théorème clef énonce alors, sous des conditions très générales, l’existence et l’unicité d’une mesure invariante vers laquelle la loi de la chaîne converge en temps long.
En pratique, il importe de quantifier le temps au bout duquel la loi de la chaîne est proche de sa mesure stationnaire. Ceci amène a définir une distance entre mesures de probabilité (la distance en variation totale), ainsi qu’un temps de mélange (relatif à cette distance). Une question assez récente consiste a étudier la dépendance du temps de mélange en la taille de l’espace d’état.
Au terme du cours, on sera par exemple en mesure de savoir combien de fois les cartes d’un jeu doivent être battues pour s’assurer que le tas est bien mélangé.
Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées
Objectifs pédagogiques
- d’analyser ce type de modèle (discrets en temps et en espace);
- d’apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.
- Cours magistral : 6
- Contrôle : 3
- Petite classe : 12
Diplôme(s) concerné(s)
- Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay
- Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Parcours de rattachement
- Voie - Simulation et Ingénierie Mathématique - Ouverture sur les Systèmes d'Information_S1
- Voie - Simulation et Ingénierie Mathématique - Ouvertures sur la mécanique et la physique_S1
- Voie - Signal, Informatique, et Systèmes/Embarqué_S1
- Voie - Signal, Informatique et Systèmes/TIC_S1
- Voie - Simulation et Ingénierie Mathématique - parcours standard_S1
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay
MA101
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Avoir suivi le cours MA101 en 1ère année.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 2
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Palaiseau
Vos modalités d'acquisition :
F=note finale, TD=Travaux dirigés, E=Examen final
Session 1 : F=1E - Session 2 : F=1E
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 3
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay
Vos modalités d'acquisition :
F=note finale, TD=Travaux dirigés, E=Examen final
Session 1 : F=0,5TD+0,5E - Session 2 : F=1E
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 3
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
- Amphi + TD
- Amphi + TD
- Amphi + TD
- Amphi + TD
- Amphi + TD
- Amphi + TD
- Examen écrit.
Mots clés
Chaînes de MarkovMéthodes pédagogiques
"Markov Chains and Mixing Times" par Levin, Peres et Wilmer.Support pédagogique multimédia
