v2.3.2 (2860)

Cours scientifique - MAP-PRB1 : Chaînes de Markov

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

La théorie des chaînes de Markov fournit un cadre mathématique rigoureux pour décrire une certaine classe d'évolutions aléatoires. Ces évolutions se déroulent en temps discret et sont à valeurs dans un espace discret. Le hasard y intervient de telle sorte que le seul élément utile pour évaluer de façon probabiliste l'évolution dans le futur, que l'on puisse tirer de l'observation du passé, est l'état du présent. On dit qu'il s'agit d'une propriété d'"oubli" du passé sachant le présent. Cette théorie intervient couramment dans des modèles mathématiques issus de problèmes concrets de nombreux domaines appliqués, aussi bien scientifiques que techniques. Nous en donnerons les éléments principaux, qui permettent d'analyser ces modèles et de leur apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.

Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées

Objectifs pédagogiques

Être capable, grâce à la connaissance des principaux éléments de la théorie des chaînes de Markov :
- d’analyser ce type de modèle (discrets en temps et en espace);
- d’apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Avoir suivi le cours MA101 en 1ère année.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

Interrogation écrite.
Le polycopié et les notes de cours sont autorisés pour l'examen. Celui-ci ne portera que sur les parties du polycopié effectivement abordées dans le cours.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
  • Scientifique acquis : 2

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 3

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Programme détaillé

Nous reprendrons d'abord la notion de conditionnement (rappel de Probabilités). On commencera par étudier les chaînes de Markov sur des espaces d'états finis (irréductibilité, apériodicité, loi stationnaire, et réversibilité). Nous verrons des exemples classiques (Erhenfest, ruine du joueur, marche simple sur un graphe,... ) ainsi que les chaînes de Metropolis et Gaubler (à la base des méthode de simulation) en TD. Puis nous aborderons les propriétés de mélange des chaînes finies (théorème de convergence, temps de mélange, théorème ergodique). Enfin, nous étudierons les chaînes de Markov sur des espaces d'états dénombrables (classification, récurrence, transience, mesures invariantes et comportement asymptotique).

Mots clés

Chaînes de Markov
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