Descriptif
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
Objectifs pédagogiques
- Cours magistral : 6
- Contrôle : 3
- Petite classe : 12
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vous devez avoir validé l'équation suivante : UE MAP-PRB1
Avoir suivi le cours MA101 en 1ère année.
Avoir suivi le cours MAP-PRB1.
Règle d'exclusion : UE MF204 UE PA201b UE IN202
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 2
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
Le coefficient de l'UE est : 2
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
1. CM: Espérance conditionnelle : construction dans le cas L^2 comme un projecteur orthogonal, extension au cas L^1 et des variables aléatoires positives, propriétés et règles de calcul, loi conditionnelle (sous réserve).
2. CM: Notions sur les processus stochastiques à temps discret. Définitions martingale, sous-(sur-)martingale, propriétés élémentaires, transformation par une fonction convexe ou convexe croissante.
3. CM:
- théorème de Décomposition de Doob pour une sous-martingale, crochet d'une martingale L^2,
- "intégrale stochastique discrète".
4. CM:
- notion de temps d'arrêt,
- martingales (sous-, sur-martingales) arrêtées, premier théorème d'arrêt de Doob (cas des temps d'arrêt bornés),
- inégalités de Doob,
- théorèmes de convergence presque-sûre pour une sous-martingale uniformément bornée dans L^1, convergence presque-sûre et dans L^2 pour une martingale uniformément bornée dans L^2.
5. CM:
- intégrabilité uniforme; martingales fermées ou régulières, convergence dans L^1 pour une martingale uniformément intégrable,
- second théorème d'arrêt de Doob (cas d'un temps d'arrêt fini et la martingale arrêtée associée est uniformément intégrable).
6. CM: Algorithme de Robins-Morro.
7. Contrôle: Examen écrit