Descriptif
Il s'agit d'un cours de probabilités avancées qui s'inscrit dans le prolongement du cours de probabilités de première année et de chaînes de Markov de deuxième année.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
Objectifs pédagogiques
- Savoir étudier le comportement asymptotique de la théorie en temps discret des martingales et des chaînes de Markov à états dénombrables.
- Savoir appliquer l’algorithme de Robins-Monro.
21 heures en présentiel (7 blocs ou créneaux)
réparties en:
- Cours magistral : 6
- Contrôle : 3
- Petite classe : 12
Diplôme(s) concerné(s)
- Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay
- Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay
PRB201
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
- cours MA101 en 1ère année.
- cours PRB201.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit final
Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 2
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Palaiseau
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit ou oral
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 2
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit ou oral
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 2
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
- Espérance conditionnelle : construction dans le cas L^2 comme un projecteur orthogonal, extension au cas L^1 et des variables aléatoires positives, propriétés et règles de calcul, loi conditionnelle (sous réserve).
- Notions sur les processus stochastiques à temps discret. Définitions martingale, sous-(sur-)martingale, propriétés élémentaires, transformation par une fonction convexe ou convexe croissante.
- Théorème de Décomposition de Doob pour une sous-martingale, crochet d'une martingale L^2. -- "Intégrale stochastique discrète".
- Notion de temps d'arrêt. -- Martingales (sous-, sur-martingales) arrêtées, premier théorème d'arrêt de Doob (cas des temps d'arrêt bornés). -- Inégalités de Doob, -- Théorèmes de convergence presque-sûre pour une sous-martingale uniformément bornée dans L^1, convergence presque-sûre et dans L^2 pour une martingale uniformément bornée dans L^2.
- Intégrabilité uniforme; martingales fermées ou régulières, convergence dans L^1 pour une martingale uniformément intégrable, -- second théorème d'arrêt de Doob (cas d'un temps d'arrêt fini et la martingale arrêtée associée est uniformément intégrable).
- Algorithme de Robins-Morro.
- Examen écrit