Descriptif

Ce cours admet plusieurs objectifs distincts: dans un premier temps, il s'agit de fournir un cadre suffisamment générique pour développer la théorie de la mesure et de l'agrémenter de nombreux exemples; dans un deuxième temps, on construit la mesure de Lebesgue (via sa mesure extérieure) et on établit les différents théorèmes d'intégration; dans un troisième et dernier temps, on développe quelques applications, indépendantes entre elles, de la théorie de la mesure tant pour les probabilités que pour la géométrie.

La première partie est de structure relativement classique: un temps sur les espaces mesurables avec la définition de tribu, les exemples classiques, le lemme de classe monotone, puis un temps sur les mesures avec un éclairage particulier sur le cas de Stieltjes, le théorème d'extension de Carathéodory et le théorème de Radon Nykodym. On définit également fonctions (réelles ou complexes) intégrables et intégrales pour une mesure $\sigma$-finie donnée.

La deuxième partie démarre avec les mesures extérieures avec l'optique de construire la mesure de Lebesgue. Le cheminement est classique et mène ensuite aux théorèmes de Beppo-Levi, Fatou et Lebesgue. On ne répètera pas les résultats sur les intégrales à paramètres mais on montrera la pertinence des résultats énoncés en discutant en détail le terme manquant dans Fatou ou la "question de Rudin": comment montrer dans le cadre Riemann, un résultat immédiat avec la convergence dominée? (ici je suis une idée de O.Gebuhrer)

Pour la troisième partie, l'idée est de présenter des applications exploitant la théorie de la mesure. La première piste est d'aborder les aspects géométriques avec les mesures de Hausdorff, la dimension de Hausdorff et la résolution plane du problème de l'aiguille de Kakeya (et l'étude d'ensembles classiques comme Cantor). En probabilités, il s'agit de regarder aussi bien des résultats classiques comme la loi du 0-1 ou la définition de processus par extension que de regarder des lois de convolutions de Bernoulli.

Quelques références "classiques"
M. Briane, G. Pagès, Théorie de l'intégration
O. Kallenberg, Foundations of Modern Probability
E. Lieb, M. Loss, Analysis
H. Pajot, E. Russ, Analyse dans les espaces métriques
D. Revuz, Mesure et intégration
W.Rudin, Analyse réelle et complexe