Descriptif
Il s'agit d'un cours de probabilités avancées qui s'inscrit dans le prolongement du cours de probabilités de première année et de chaînes de Markov de deuxième année.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
Objectifs pédagogiques
- Savoir étudier le comportement asymptotique de la théorie en temps discret des martingales et des chaînes de Markov à états dénombrables.
- Savoir appliquer l’algorithme de Robins-Monro.
21 heures en présentiel (7 blocs ou créneaux)
réparties en:
- Petite classe : 12
- Contrôle : 3
- Cours magistral : 6
effectifs minimal / maximal:
10/100Diplôme(s) concerné(s)
- Master 1 Parisien de Recherche Opérationnelle
- Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay
- Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay
PRB201
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
- cours MA101 en 1ère année.
- cours PRB201.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Master 1 Parisien de Recherche Opérationnelle
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2.5 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit final.
Les documents autorisés sont les supports de cours et notes prises en cours, les sujets de PC et corrigés du cours PRB202 et du cours MA101 (de première année).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit final.
Les documents autorisés sont les supports de cours et notes prises en cours, les sujets de PC et corrigés du cours PRB202 et du cours MA101 (de première année).
Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Programme détaillé
- Espérance conditionnelle : construction dans le cas L^2 comme un projecteur orthogonal, extension au cas L^1 et des variables aléatoires positives, propriétés et règles de calcul, loi conditionnelle (sous réserve).
- Notions sur les processus stochastiques à temps discret. Définitions martingale, sous-(sur-)martingale, propriétés élémentaires, transformation par une fonction convexe ou convexe croissante.
- Théorème de Décomposition de Doob pour une sous-martingale, crochet d'une martingale L^2. -- "Intégrale stochastique discrète".
- Notion de temps d'arrêt. -- Martingales (sous-, sur-martingales) arrêtées, premier théorème d'arrêt de Doob (cas des temps d'arrêt bornés). -- Inégalités de Doob, -- Théorèmes de convergence presque-sûre pour une sous-martingale uniformément bornée dans L^1, convergence presque-sûre et dans L^2 pour une martingale uniformément bornée dans L^2.
- Intégrabilité uniforme; martingales fermées ou régulières, convergence dans L^1 pour une martingale uniformément intégrable, -- second théorème d'arrêt de Doob (cas d'un temps d'arrêt fini et la martingale arrêtée associée est uniformément intégrable).
- Algorithme de Robins-Morro.
- Examen écrit