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Cours scientifiques - AO102 : Systèmes Dynamiques : stabilité et sommande

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Les systèmes dynamiques sont les modèles mathématiques des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant provenir de la physique, la mécanique, l'économie, la biologie, l'écologie, la chimie... Un système dynamique est constitué d'un espace de phases, l'espace des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d'une loi d'évolution qui décrit la variation temporelle de l'état du système. Dans le cadre de ce cours (lois déterministes, en temps continu), cette loi d'évolution prend la forme d'une équation différentielle.

La résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle est en général impossible. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l'évolution à long terme.

Le principal objectif de ce cours est d'aborder l'étude générale des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires. L'accent est mis principalement sur la notion de stabilité dont l'importance, pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la connaissance effective des solutions.

En préalable à cette partie, une séance et demi (1 amphi et 2 TDs) est consacrée au calcul différentiel:  application linéaire tangente, théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites... Ces concepts sont nécessaires pour la partie du cours qui concerne la linéarisation, mais leur utilité dépasse largement le cadre des équations différentielles.

Objectifs pédagogiques

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes du calcul différentiel (calcul de différentielle, théorème des fonctions implicites).

Être capable, grâce à la connaissance des principes fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiques :
- d’étudier le comportement d'une équation différentielle linéaire autonome;
- d'analyser le portrait de phase d'une équation différentielle non-linéaire;
- d'analyser la stabilité d'un équilibre;
- d'étudier la commandabilité, l’observabilité et la stabilisation d'un système de contrôle linéaire.

21 heures en présentiel (7 blocs ou créneaux)
réparties en:
  • Petite classe : 13
  • Cours magistral : 5
  • Contrôle : 3

effectifs minimal / maximal:

145/190

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Aucun pré-requis pour suivre ce cours en 1ère année.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

- Examen écrit SANS DOCUMENTS, excepté une feuille "aide-mémoire" de notes de cours. Cette feuille A4, manuscrite, pourra être établie par chaque élève à sa convenance.

- Un devoir maison sur le Calcul Différentiel sera donné à la séance 2 pour la séance 3. Il rapportera 2 points de bonus.

Nota: L'examen de rattrapage consiste en un écrit de 1h30 SANS AUCUN DOCUMENT (pas de feuille "aide-mémoire").

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.5 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.5

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

  1. Calcul différentiel
  2. Théorie générale des équations différentielles + Exercices de calcul différentiel
  3. Théorie générale des équations différentielles (TD seulement)
  4. Cas linéaire autonome
  5. Linéarisation et équations linéaires non autonomes
  6. Equilibres et stabilité
  7. Contrôle de connaissances

Mots clés

Équations différentielles, stabilité

Méthodes pédagogiques

Livre "Stabilité et Commande des Systèmes Dynamiques. Cours et exercices corrigés", feuilles de TD. En version électronique (sur le moodle ecampus): polycopié, supports de cours (mis en ligne avant chaque séance).
Veuillez patienter