Descriptif
Ce cours de probabilités avancées s'inscrit dans le prolongement du cours "Martingales et Algorithmes Stochastiques" (PRB202).
Nous nous intéresserons à des processus aléatoires à temps continu. Nous commencerons par illustrer des motivations théoriques et appliquées du Cours. Après des généralités sur le conditionnement et les vecteurs gaussiens, l'effort sera mis sur l'étude du mouvement brownien, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck et les processes gaussiens. On étudiera ses propriétés principales du mouvement brownien: on montrera que c'est une martingale continue et on déterminera le temps d'atteinte d'une barrière. Dans un second temps, l'intégrale stochastique sera définie ainsi que la notion de covariation. Cette nouvelle notion d'intégration est l'objectif principal de ce cours. Elle débouchera naturellement sur le calcul d'Itô, dont une application sera l'étude de certaines équations différentielles stochastiques (EDS). Nous étudierons également le théorème de Girsanov
Nous nous intéresserons à des processus aléatoires à temps continu. Nous commencerons par illustrer des motivations théoriques et appliquées du Cours. Après des généralités sur le conditionnement et les vecteurs gaussiens, l'effort sera mis sur l'étude du mouvement brownien, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck et les processes gaussiens. On étudiera ses propriétés principales du mouvement brownien: on montrera que c'est une martingale continue et on déterminera le temps d'atteinte d'une barrière. Dans un second temps, l'intégrale stochastique sera définie ainsi que la notion de covariation. Cette nouvelle notion d'intégration est l'objectif principal de ce cours. Elle débouchera naturellement sur le calcul d'Itô, dont une application sera l'étude de certaines équations différentielles stochastiques (EDS). Nous étudierons également le théorème de Girsanov
et le théorème de représentation des martingales browniennes. On terminera le cours en illustrant le
caractère markovien des solutions des EDS et on montrera dans quelle mesure elles constitution une représentation probabilistes de certaines EDP parabliques linéaires.
Ce cours est avant tout une base théorique pouvant déboucher sur de nombreuses applications (Physique, Biologie, Mathématiques financières, étude et analyse probabiliste des EDPs).
Il est indispensable pour des élèves souhaitant suivre les modules ``Modèles Stochastiques pour la Finance'' (PRB210) et ``Méthodes Numériques Probabilistes'' (PRB220).
Ce cours est avant tout une base théorique pouvant déboucher sur de nombreuses applications (Physique, Biologie, Mathématiques financières, étude et analyse probabiliste des EDPs).
Il est indispensable pour des élèves souhaitant suivre les modules ``Modèles Stochastiques pour la Finance'' (PRB210) et ``Méthodes Numériques Probabilistes'' (PRB220).
Objectifs pédagogiques
Être capable, grâce aux connaissances acquises en calcul stochastique, intégrale stochastique, calcul d’Itô:
- de mettre en œuvre les techniques classiques liées au mouvement brownien;
- d’étudier les équations différentielles stochastiques.
- de mettre en œuvre les techniques classiques liées au mouvement brownien;
- d’étudier les équations différentielles stochastiques.
21 heures en présentiel (7 blocs ou créneaux)
réparties en:
- Contrôle : 3
- Cours magistral : 6
- Petite classe : 12
effectifs minimal / maximal:
10/80Diplôme(s) concerné(s)
- Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay
- Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
- Master 1 Mathématiques Appliquées
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay
MA101, PRB201, PRB202
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
MA101, PRB201, PRB202
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques Appliquées
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 1
Pour les étudiants du diplôme Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit ou oral
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 7 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 1.25 ECTS
- Scientifique acquis : 1.25
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
Examen final
Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 1.25 ECTS
- Scientifique acquis : 1.25
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Programme détaillé