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Cours scientifiques - MA103 : Introduction à la discrétisation des équations aux dérivées partielles

Domaine > Applied Maths.

Descriptif

Ce cours est centré sur la méthode des différences finies pour l'approximation des équations aux dérivées partielles de la physique (elliptiques, paraboliques et hyperboliques). C'est cette dernière classe d'équations qui fait l'objet de ce cours. Nous abordons les problèmes linéaires et non linéaires. L'objectif est alors de

- Introduire, sur des exemples modèles relativement simples, quelques propriétés essentielles des solutions de ces équations;

- Donner les bases de la méthode des différences finies, introduire les notions de schémas explicite et implicite;

- Sensibiliser les élèves aux notions de consistance, stabilité et convergence d'un schéma numérique;

Les deux autres catégories d'équations seront abordés dans deux cours de deuxième année sur la méthode des éléments finis (ANN201 et ANN202).

Objectifs pédagogiques

Être capable d’étudier solutions des équations aux dérivées partielles hyperboliques, linéaires ou non et être capable d’analyser la méthode des différences finies pour l'approximation de ces équations à travers les notions de consistance, de stabilité, de convergence et de dissipation et dispersion numerique pour des schémas explicites ou implicites.

21 heures en présentiel (7 blocs ou créneaux)
réparties en:
  • Cours magistral : 6
  • Travaux dirigés en salle info : 2
  • Contrôle : 3
  • Petite classe : 10

effectifs minimal / maximal:

145/155

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Avoir suivi AO102 et MA102.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.5 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.5

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

Cours 1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
Motivations
Equation de transport à coefficients constants
Systèmes hyperboliques à coefficients constants


Cours 2: PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES ET NON LINEAIRES

PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES
Equation de transport à coefficients variables
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Solution classique
Méthode des caractéristiques
Explosion en temps fini

Notion de solution faible
Solution C^1pm (Relation de Rankine Hugoniot)

 

Cours 3:PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Non-unicité des solutions faibles
Notion de solution faible entropie

Théorème d'existence/unicité
Propriétés de monotonie
Le problème de Riemann à 2 états dans le cas f convexe 
Solutions auto-similaires
Formes des solutions

 

Cours 4: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES
Principe des différences finies
Construction du schéma centré pour l'équation de transport

Vitesse de propagation numérique
Consistance des schémas
Définition de la stabilité L^2  et analyse par la méthode de Fourier

 

COURS 5: METHODE DES DIFFERENCES FINIES
Schéma de Lax Friedrichs
Condition CFL
Définition de la convergence

Théorème de Lax

Dissipation et dispersion numérique 

COURS 6: METHODE DES DIFFERENCES FINIES
Equation equivalente

Schemas pour les problemes non lineaires
Notion de schéma à 3 points, schéma conservatif, schéma entropique, schéma monotone
Un exemple : le schéma de godunov

Mots clés

différences finies, EDP, consistance, stabilité, convergence

Méthodes pédagogiques

Polycopié

Support pédagogique multimédia

Oui

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