v2.11.0 (5549)

Cours scientifiques - APM_4PRB1_TA : Chaînes de Markov

Domaine > Applied Maths.

Descriptif

Les premiers résultats de la théorie des probabilités (loi des grands nombres, théorème central limite) concernent les suites de variables aléatoires (X(n)) indépendantes et de même loi. Les chaînes de Markov étendent ce cadre : on ne demande plus que X(n+1) soit indépendant de X(0),...,X(n), mais plutôt qu'il ne dépende que de X(n), et ce de façon homogène par rapport au temps n. 
 
Le cours présente les fondements de la théorie de ces processus, qui a de nombreuses applications : simulations de lois par la méthode de Monte-Carlo, résolution du problème de Dirichlet, description de l'évolution de certains systèmes physiques ou biologiques, etc.
 
En particulier :
1. On décrira complètement l'aspect des trajectoires du processus (X(n)) sur un espace des états : classification des états, récurrence et transience.
2. Lorsque les trajectoires sont récurrentes (c'est-à-dire qu'elles reviennent systématiquement au point de départ), on les étudiera quantitativement grâce aux fréquences de visite, et aux probabilités marginales au temps n. Ces deux quantités convergent sous certaines hypothèse vers la loi stationnaire de la chaîne.
 
Prérequis : 
Avoir suivi un premier cours de probabilités : maîtriser la notion de variable aléatoire, les probabilités conditionnelles, la loi des grands nombres. 
 
Documents : 
Un polycopié contenant le cours, les exercices et des compléments destinés aux étudiants d'Orsay est disponible sur la page web de Pierre-Loïc Méliot.

Objectifs pédagogiques

Être capable, grâce à la connaissance des principaux éléments de la théorie des chaînes de Markov :
  • d’analyser ce type de modèle (discrets en temps et en espace);
  • d’apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.

21 heures en présentiel (7 blocs ou créneaux)
réparties en:
  • Petite classe : 12
  • Contrôle : 3
  • Cours magistral : 6

effectifs minimal / maximal:

10/90

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay

MA101

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Avoir suivi le cours MA101 en 1ère année.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques Appliquées

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Parisien de Recherche Opérationnelle

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2.5 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Applied Mathematics ans statistics - Orsay

Vos modalités d'acquisition :

F=note finale, TD=Travaux dirigés, E=Examen final

Session 1 : F=0,5TD+0,5E  - Session 2 : F=1E

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
  • Scientifique acquis : 2

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
  • Scientifique acquis : 2

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

  1. Amphi + TD
  2. Amphi + TD
  3. Amphi + TD
  4. Amphi + TD
  5. Amphi + TD
  6. Amphi + TD
  7. Examen écrit.

Mots clés

Chaînes de Markov

Méthodes pédagogiques

"Markov Chains and Mixing Times" par Levin, Peres et Wilmer.
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