Descriptif
Ce cours est consacré à l'introduction des concepts de base de l'homogénéisation des matériaux ayant une micro- structure périodique. Lorsque la période de la microstructure est faible par rapport à la taille du matériau (par exemple, dans des mousses, des matériaux composites, etc.), la question est de savoir si on peut trouver un modèle effectif qui rend compte du comportement macroscopique de ce matériau.
Nous nous concentrons dans le cours sur les modèles qui sont donnés par une équation aux dérivées partielles (EDP) avec des coefficients périodiques. D'un point de vue mathématique, les équations et leur solution sont paramètrées par la période et le problème est d'étudier la limite, si elle existe, de la famille de solutions, quand la période tend vers 0. Est ce que cette limite est solution d'une EDP limite? Dans ce cas, les coefficients caractérisent alors le milieu effectif.
Parmi les méthodes théoriques classiques utilisées pour étudier ce genre de problèmes, nous nous concentrons sur la méthode de développement multi-échelle et la convergence double-échelle. Ces deux méthodes donnent des résultats de différentes saveurs, heuristique ou rigoureuse, et arrivent à être très complémentaires.
En effet, la méthode de développement multiéchelle fonctionne en postulant un ansatz pour la solution : celle-ci se développerait comme une série où chacun des termes sont recherchés les uns après les autres. L'existence d 'un tel développement est possible sous certaines hypothèses sur les coefficients.
D'autre part, la théorie de la convergence double-échelle de N'Guetseng et Allaire permet une approche complète et rigoureuse, sous des hypothèse beaucoup moins restrictives.
Nous prévoyons également de fournir aux étudiants quelques éléments sur la Gamma convergence qui sont liés au sujet.
En plus de cette étude théorique, nous étudierons les aspects numériques de la méthode : l'analyse numérique d'une part de méthodes d'homogénéisation numérique et la mise en pratique de ces méthodes. Des séances de travaux pratiques sont prévues.
30 heures en présentiel
Diplôme(s) concerné(s)
- Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
- Inside ENSTA Paris
- M2 AMS - Analyse, Modélisation, SImulation
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme M2 AMS - Analyse, Modélisation, SImulation
Le cours est autonome, mais des connaissances de base de l'analyse des EDPs sont nécessaires pour suivre ce cours.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme M2 AMS - Analyse, Modélisation, SImulation
Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Inside ENSTA Paris
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée écrêtée à une note seuil de 10)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
- Scientifique acquis : 3
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.