Descriptif

Le cours d'analyse constitue une introduction à l'analyse fonctionnelle et à ses applications à l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires. L'objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec quelques-unes des idées essentielles sur lesquelles s'appuie l'étude des modèles les plus simples de la physique et de la mécanique. Il ne s'agit pas seulement de fournir des méthodes pour la résolution de ces équations, mais aussi d'amener à une meilleure compréhension des phénomènes dont elles constituent le modèle.

Le cours se compose de quatre parties :

La première est consacrée à des rappels de topologie, aux notions de convergence dans les espaces de fonctions et aux théorèmes essentiels relatifs à l'intégration. Ces résultats forment la base technique indispensable sur laquelle s'appuie le reste du cours.

La deuxième partie est consacrée aux distributions, qui généralisent les fonctions, ainsi qu'aux principales opérations qu'elles supportent : dérivation et multiplication.

La troisième partie introduit la transformation de Fourier, dans un premier temps pour les fonctions intégrables, puis pour les fonctions de carré intégrables.

La quatrième partie est relative à l'application de la méthode variationnelle à l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires, dans le cadre des espaces de Sobolev. Cette méthode permet en particulier d'apporter une réponse aux questions d'existence et d'unicité de la solution du problème posé.

Ce cours est destiné aux élèves issues de filières dont le niveau en mathématiques est plus faible que le niveau des filières habituelles. Le sujet est le même que celui du cours MA102, mais le contenu est un peu plus restreint.