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Cours scientifiques - APM_5MS07_TA : Problèmes de diffraction en domaines non bornés

Descriptif

On s'intéressera dans ce cours à la résolution de problèmes modélisant la diffraction d'une onde par un obstacle, en régime périodique établi. La difficulté principale est qu'un tel problème  est posé dans un domaine non-borné, et que sa solution n'est pas de carré intégrable. 
 
On considèrera dans le cours à la fois l'exemple le plus typique  d'un obstacle borné dans l'espace libre, et celui plus spécifique où l'obstacle est placé dans un guide d'ondes infini. Ces deux configurations ont leur intérêt du point de vue des applications, aussi bien en électromagnétisme qu'en acoustique. Le cas des guides d'ondes présente un intérêt pédagogique, parce que les calculs peuvent y être menés de façon simple, et que certains phénomènes exotiques s'y produisent.
On montrera comment formuler les problèmes de diffraction dans un domaine de calcul borné, en écrivant sur la frontière artificielle une condition transparente de type Dirichlet-to Neumann. On montrera  ensuite que ces formulations relèvent de l'alternative de Fredholm, et on verra quels résultats de stabilité peuvent en être déduits. Enfin, on présentera différentes approches pour approcher numériquement de tels problèmes (condition aux limites de Dirichlet-to-Neumann approchées, couches PML), et on établira des estimations de l'erreur due aux paramètres de discrétisation. 

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Analyse Hilbertienne, formulations variationnelles, analyse numérique élémentaire

Pour les étudiants du diplôme M2 AMS - Analyse, Modélisation, SImulation

Analyse Hilbertienne, formulations variationnelles, analyse numérique élémentaire

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme M2 AMS - Analyse, Modélisation, SImulation

Vos modalités d'acquisition :

L'évaluation se fera par un examen écrit et le compte rendu d'un TP.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Pour les étudiants du diplôme Inside ENSTA Paris

L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

L'évaluation se fera par un examen écrit et le compte rendu d'un TP.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
  • Scientifique acquis : 3

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

- Problème de diffraction, notions de champs incident, total et diffracté, condition de rayonnement de Sommerfeld.
- Guides d'ondes, modes propagatifs et évanescents, condition de rayonnement modale.
- Approximation de la condition transparente par une condition de Robin, alternative de Fredholm, théorème de Holmgren.
- Condition transparente exacte dans les guides d'ondes, opérateur de Dirichlet-to-Neumann (DtN), principe d'absorption limite.
- Condition transparente de type DtN pour l'espace libre, alternative de Fredholm, théorème de Rellich.
- Cas de non-unicité, modes piégés dans les guides d'ondes, conditions DtN avec recouvrement.
- Mise en oeuvre pratique des conditions DtN, opérateur DtN approché, estimation d'erreur en fonction du nombre de modes conservés.
- Formulation avec couches PML dans un guide d'ondes, alternative de Fredholm, estimation d'erreur en fonction de l'épaisseur des couches, méthodes PML pour l'espace libre, PML radiales et PMLs cartésiennes.
- Mise en oeuvre des différentes méthodes dans le code XLiFE++.

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