Descriptif

Les systèmes dynamiques sont les modèles mathématiques des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant provenir de la physique, la mécanique, l'économie, la biologie, l'écologie, la chimie... Un système dynamique est constitué d'un espace de phases, l'espace des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d'une loi d'évolution qui décrit la variation temporelle de l'état du système. Dans le cadre de ce cours (lois déterministes, en temps continu), cette loi d'évolution prend la forme d'une équation différentielle.

La résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle est en général impossible. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l'évolution à long terme.

Le premier objectif de ce cours est d'aborder l'étude générale des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires. L'accent est mis principalement sur la notion de stabilité dont l'importance, pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la connaissance effective des solutions. Un deuxième objectif est de présenter une introduction à l'automatique. On verra comment se ramener, par linéarisation à des systèmes commandés linéaires, puis on abordera, dans le cadre de l'automatique linéaire, les problèmes de l'analyse du comportement dynamique d'un système et de la synthèse des lois de commande.

En préalable à cette partie, une séance et demi (1 amphi et 2 TDs) est consacrée au calcul différentiel:  application différentielle, théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites,... Ces concepts sont nécessaires pour la partie du cours qui concerne la linéarisation, mais leur utilité dépasse largement le cadre des équations différentielles.