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Cours scientifiques - AOT11 : Mesures: intégration, probabilités et géométrie

Domaine > Probabilités et Statistiques, Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Ce cours admet plusieurs objectifs distincts: dans un premier temps, il s'agit de fournir un cadre suffisamment générique pour développer la théorie de la mesure et de l'agrémenter de nombreux exemples; dans un deuxième temps, on construit la mesure de Lebesgue (via sa mesure extérieure) et on établit les différents théorèmes d'intégration; dans un troisième et dernier temps, on développe quelques applications, indépendantes entre elles, de la théorie de la mesure tant pour les probabilités que pour la géométrie.

La première partie est de structure relativement classique: un temps sur les espaces mesurables avec la définition de tribu, les exemples classiques, le lemme de classe monotone, puis un temps sur les mesures avec un éclairage particulier sur le cas de Stieltjes, le théorème d'extension de Carathéodory et le théorème de Radon Nykodym. On définit également fonctions (réelles ou complexes) intégrables et intégrales pour une mesure $\sigma$-finie donnée.

La deuxième partie démarre avec les mesures extérieures avec l'optique de construire la mesure de Lebesgue. Le cheminement est classique et mène ensuite aux théorèmes de Beppo-Levi, Fatou et Lebesgue. On ne répètera pas les résultats sur les intégrales à paramètres mais on montrera la pertinence des résultats énoncés en discutant en détail le terme manquant dans Fatou ou la "question de Rudin": comment montrer dans le cadre Riemann, un résultat immédiat avec la convergence dominée? (ici je suis une idée de O.Gebuhrer)

Pour la troisième partie, l'idée est de présenter des applications exploitant la théorie de la mesure. La première piste est d'aborder les aspects géométriques avec les mesures de Hausdorff, la dimension de Hausdorff et la résolution plane du problème de l'aiguille de Kakeya (et l'étude d'ensembles classiques comme Cantor). En probabilités, il s'agit de regarder aussi bien des résultats classiques comme la loi du 0-1 ou la définition de processus par extension que de regarder des lois de convolutions de Bernoulli.

Quelques références "classiques"
M. Briane, G. Pagès, Théorie de l'intégration
O. Kallenberg, Foundations of Modern Probability
E. Lieb, M. Loss, Analysis
H. Pajot, E. Russ, Analyse dans les espaces métriques
D. Revuz, Mesure et intégration
W.Rudin, Analyse réelle et complexe

 

Objectifs pédagogiques

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes de la théorie de la mesure

27 heures en présentiel (14 blocs ou créneaux)

effectifs minimal / maximal:

10/30

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Aucun pré-requis pour suivre ce cours.

Règle d'exclusion : UE EAT11 Ou UE EAT12 Ou Ou UE CBT12 Ou UE CBT13 Ou Ou UE INT21 Ou Ou UE INT23 Ou Ou UE MAT42 Ou UE MAT43 Ou UE MST31 Ou UE MST32 Ou UE MST33 Ou UE EPMT11

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

A venir

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.25 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.25

Le coefficient de l'UE est : 1

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

A venir

Mots clés

théorie de la mesure, intégration, mesure de Lebesgue

Méthodes pédagogiques

Polycopié

Support pédagogique multimédia

Oui

Veuillez patienter