Ce cours de probabilités avancées s'inscrit dans le prolongement du cours "Martingales et Algorithmes Stochastiques" (PRB202).

Nous nous intéresserons à des processus aléatoires à temps continu. Nous commencerons par l'étude des Processus à Accroissements Indépendants Stationnaires (PAIS) généraux, et traiterons de l'exemple particulier du processus de Poisson, PAIS à valeurs entières. Puis l'effort sera mis sur l'étude du mouvement brownien, PAIS à espace d'états continu (R ou R^d).   On étudiera ses propriétés principales : on montrera que c'est une martingale continue, et qu'il est également un processus de Markov fort. En établissant ces propriétés, nous nous familiariserons avec certaines techniques classiques liées au mouvement brownien. Dans un second temps, l'intégrale stochastique sera définie. Cette nouvelle notion d'intégration est l'objectif de ce cours. Elle débouchera naturellement sur le calcul d'Itô, dont une application sera l'étude de certaines équations différentielles stochastiques.

Ce cours est avant tout une base théorique pouvant déboucher sur de nombreuses applications (Physique, Biologie, Mathématiques financières, étude et analyse probabiliste des EDPs).
Il est indispensable pour des élèves souhaitant suivre les modules ``Modèles Stochastiques pour la Finance'' (PRB210) et ``Méthodes Numériques Probabilistes'' (PRB220).