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Cours scientifiques - MF209 : Systèmes dynamiques: stabilité, bifurcation et chaos

Domaine > Mécanique des fluides et énergétique, Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Ce cours s’intéresse à la dynamique non linéaire des systèmes mécaniques au sens large, en
mettant l’accent sur les notions de stabilité, de bifurcation, et de transition vers le chaos. Toutes ces notions trouvent leur racines dans la théorie des systèmes dynamiques, dont le cours fera un large usage.

L'ensemble des séances est découpé en 4 blocs qui s'enchainent.
Dans la première partie du cours, on s'intéressera à la théorie des systèmes dynamiques non linéaires et des bifurcations. Les notions essentielles de stabilité et de bifurcation
seront introduites dans un cadre général, ainsi que des outils aux conséquences profondes
comme la réduction à la variété centrale. Ces trois premières séances donneront
les bases mathématiques nécessaires qui seront ensuite appliquées aux systèmes mécaniques.

Dans une second partie, on s'intéressera au problème de la stabilité des structures
et plus particulièrement au problème du flambement des structures minces. Remettant ce problème
de statique dans le cadre des systèmes dynamiques, on présentera une vision unifiée
permettant de comprendre les bifurcations menant au flambement et au flottement.

La troisième partie du cours sera consacrée à la stabilité des écoulements fluides.
Nous établirons les grands théorèmes de stabilité pour la classe des écoulements parallèles,
en fluide parfait (critère du point d'inflexion de Rayleigh) ou réel (théorème de Squire).
Cette partie sera illustrée sur quelques cas célèbres, parmi lesquels celui des couches cisaillées et le problème de la convection dite de Rayleigh-Bénard.
Puis nous aborderons le problème encore largement ouvert de la transition à la turbulence dans les écoulements visqueux de parois.

Enfin la dernière partie reviendra sur les systèmes dynamiques afin d'introduire
la notion de chaos temporel. Son étude mathématique sera proposée en introduisant
les notions d'auto-similarité et d'étirement-repliement qui sont au coeur de la
description des attracteurs étranges. Les notions de dimensions fractales et d'exposants de Lyapunov
seront illustrées sur le problème de la convection et le système de Lorenz.

En conclusion, le lien entre le chaos temporel et le problème de la transition à la turbulence
sera établi.

Objectifs pédagogiques

Être capable :

-de mener une analyse de stabilité-bifurcation sur une système dynamique non linéaire.
-de comprendre les notions essentielles d'esapce des phases, flot, trajectoire, bifurcation.
-d'avoir une idée précise de la notion de chaos temporel et de son lien avec la turbulence hydrodynamique.
-de comprendre l'émergence de comportements complexes par une série de bifurcations.
-de calculer la stabilité d'une structure.
-de qualifier les différences entre le flambement et le flottement.
-de mener une analyse de stabilité d’écoulement.
-de manipuler les techniques d’analyse des équations de la dynamique des fluides dans le cadre de la stabilité d’écoulements.

Maîtriser les concepts suivants :

-Systèmes dynamiques non-linéaires,
-espace des phases, stabilité et bifurcations.
-flambement des structures minces.
-critères de stabilité des écoulements parallèles.
-convection.
-chaos temporel, attracteur étrange et sensibilité aux conditions initiales.
-transition à la turbulence

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Cours "Mécanique des fluides incompressibles" (MF101)

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2.5 ECTS
  • Scientifique acquis : 2.5

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

séance 1 : Introduction générale. Notions de stabilité et bifurcations, systèmes dynamiques.

Des EDPs aux systèmes dynamiques:
modes normaux/projections sur les modes normaux.

 

séance 2 : Notions de stabilité globale et locale.
Thèorèmes de Lagrange-Dirichlet, Lyapunov.

 

séance 3 : Dynamique linéaire et non linéaire. variétés stables et instables.
Théorème de Hartman-Grobman. Réduction à la variété centrale.

 

séance 4 : Théorie des bifurcations et bifurcations de co-dimension 1. 
Application au cas du flambement des structures minces.

 

séance 5 : Flambement des structures minces : application du théorème de Lagrange-Dirichlet,
évolution de l'opérateur linéaire, notion de mode de flambement.

 

séance 6 : Flambement des structures minces : application aux poutres droites.
Calcul des charges critiques et des branches bifurquées.

 

Séance 7 : Mécanismes physiques d'instabilités ; notion de relation de dispersion.

 

Séance 8 : Instabilités dans les écoulements fermés.

 

Séance 9 : Instabilités dans les écoulements parallèles : formalisme linéaire, équations de Orr-Sommerfeld, grands théorèmes fondateurs.Application à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz.

 

Séance 10: Transition à la turbulence. 

 

séance 11 : convection de Rayleigh-Bénard : des EDPs au système de Lorenz.

 

séance 12 : étude des bifurcations du système de Lorenz. Introduction au chaos.

 

séance 13 : caractérisation du chaos temporel. Notion d'attracteur étrange,
sensibilité aux conditions initiales, dimension fractale et exposants de Lyapunov.

 

séance 14 : contrôle de connaissances.

Mots clés

Systèmes dynamiques non-linéaires, espace des phases, instabilité (théorie générale), convection, structures dissipatives,stabilité des écoulements, chaos, transition à la turbulence, turbulence développée.
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