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Cours scientifiques - AMS310 : Equations intégrales et potentiels retardés

Descriptif

Ce cours a pour objectif de présenter l'analyse et l'approximation des méthodes d'équations intégrales pour des problèmes harmoniques et transitoires.Ces méthodes connaissent un regain d'intérêt depuis quelques années grâce à de nouveaux algorithmes qui permettent de les rendre rapides et efficaces.
 
La première partie du cours sera consacrée à la présentation, à l'analyse et l'approximation des équations intégrales pour des problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz). Puis, la deuxième partie du cours abordera ces équations intégrales pour un problème hyperbolique modèle,  l'équation des ondes. Ces équations intégrales en temps sont aussi appelées "potentiels retardés". L'analyse est assez différente du cas elliptique et repose sur la transformation de Laplace. En ce qui concerne l'approximation, nous présenterons une des méthodes les plus populaires, la méthode 'Convolution Quadrature', initialement proposée par Christian Lubich en 1988. 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Master 2 Analyse Modélisation et Simulation

Vos modalités d'acquisition :

L’évaluation consistera en un partiel écrit de 2h (séance 6) sur la première partie du cours et un projet sur la deuxième partie du cours (analyse d’article + petit exposé).

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 1

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Vos modalités d'acquisition :

L’évaluation consistera en un partiel écrit de 2h (séance 6) sur la première partie du cours et un projet sur la deuxième partie du cours (analyse d’article + petit exposé).

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée écrêtée à une note seuil de 10)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
  • Scientifique acquis : 3

Le coefficient de l'UE est : 1

Programme détaillé

- Cours 1 : introduction et motivation;  le problème aux limites pour l'équation de Laplace dans un domaine non borné de R^3 et la formule de représentation.

- Cours 2: les potentiels de simple et double couche, les opérateurs intégraux de frontière et leur expressions intégrales.

-Cours 3: l'opérateur de Calderòn. La dérivation des formulations intégrales et leur caractère bien posé.

-Cours 4: les formulations intégrales pour l'équation de Helmholtz. Leur caractère bien posé. Combined Field Integral Formulation. 

-Cours 5: la discrétisation des équations intégrales de frontière par la méthode de Galerkin pour l'équation de Laplace, sa stabilité et sa convergence.

-Cours 6: la discrétisation des équations intégrales de frontière pour l'équation de Helmholtz. Partiel. 

-Cours 7:  le problème aux limites pour l'équation des ondes dans un domaine de R^d; la solution fondamentale et la formule de représentation à l'aide des potentiels retardés. 

-Cours 8: transformée de Laplace pour les distributions tempérées causales: définition, propriétés

-Cours 9:  application de l'analyse de Laplace pour les estimations des opérateurs intégraux et l'analyse de stabilité des équations intégrales

-Cours 10: discrétisation des équations intégrales de frontière pour l'équation des ondes en temps: la méthode de "convolution quadrature", sa stabilité et sa convergence. 

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