Descriptif
Ce cours est une introduction aux problèmes inverses gouvernés par des équations aux dérivées partielles.
Les problèmes inverses surviennent dans de nombreux secteurs de l'industrie (contrôle non destructif, propection pétrolière, détection RADAR/SONAR,...) ou de la médecine (imagerie médicale, détection de tumeurs ou d'infarctus, assimilation de données des patients,...) ou des sciences environmentales (estimation météorologique ou climatique).
Il s'agit de reconstruire des conditions aux limites (en espace et en temps) manquantes (problème de complétion de données) ou des caractéristiques du modèle (problème d'identification) dans une première zone géométrique (en général inaccessible) à partir de données surabondantes dans une seconde (accessible à la mesure). Ces problèmes inverses sont mal posés en général, les problèmes de complétion de données étant linéaires, les problèmes d'identification non-linéaires, d'o\`u une distinction que nous faisons entre ces deux types de problème. Nous avons choisi pour décrire les problèmes inverses des outils communs avec ceux de la théorie du contrôle. Par ailleurs, on étudiera à la fois les aspects mathématiques et les aspects numériques, ces derniers intervenant dans l'application concrète des méthodes de reconstruction.
Diplôme(s) concerné(s)
- Master 2 Analyse Modélisation et Simulation
- Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Bonnes connaissances en analyse fonctionnelle et analyse numérique
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Master 2 Analyse Modélisation et Simulation
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 7
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
- Scientifique acquis : 3
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Programme détaillé
-Rappels d'analyse fonctionnelle (opérateurs, théorie spectrale, semi-groupes)
-Problèmes linéaires mal posés et régularisation par moindres carrés (notion de problème mal posé, régularisation de Tikhonov, principe de Morozov)
-Problèmes de complétion de données : exemples (problèmes de Cauchy du Laplacien, équation d'évolution avec données de Cauchy latérales, équation de la chaleur rétrograde, reconstruction d'une condition initiale pour l'équation des ondes)
-Prolongement unique et questions d'unicité/observabilité (théorème de Holmgren et inégalité de Carleman, méthode des multiplicateurs)
-Problèmes de complétion de données : méthodes de résolution (approches type quasiréversibilité, contrôle optimal et variante Kohn-Vogelius, estimation variationnelle vs séquentielle pour les problèmes d'évolution)
-Problèmes d'identification non linéaires : exemples, questions d'unicité (problème inverse de Robin, problèmes inverses géométriques)
-Problèmes d'identification non linéaires : méthode de résolution (contrôle optimal, initiation aux lignes de niveau et à la dérivée de forme)